ตัวอย่างที่ 1

อ้างอิง: วิธีการระบุฟังก์ชันต่อไปนี้เทียบเท่า: ในบางงาน จะสะดวกที่จะกำหนดให้ฟังก์ชันนี้เป็น "ผู้เล่น" และในบางงานเป็น "ef from x"

อันดับแรกเราพบอนุพันธ์:

ตัวอย่าง 2

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

, , ศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบและอื่น ๆ.

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด หาอนุพันธ์ก่อน:

นั่นเป็นเรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง คำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด :

ในกรณีที่คุณไม่เข้าใจวิธีการหาอนุพันธ์ ให้กลับไปที่สองบทเรียนแรกของหัวข้อนี้ หากมีปัญหา (ความเข้าใจผิด) กับอาร์คแทนเจนต์และความหมาย อย่างจำเป็น วัสดุระเบียบวิธีการศึกษา กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- ย่อหน้าสุดท้าย เพราะยังมีอาร์คแทนเจนต์เพียงพอสำหรับวัยเรียน

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

สมการแทนเจนต์ต่อกราฟของฟังก์ชัน

เพื่อรวมย่อหน้าที่แล้ว ให้พิจารณาปัญหาการหาแทนเจนต์กับ ฟังก์ชั่นกราฟิกณ จุดนี้. เราพบงานนี้ที่โรงเรียน และยังพบในหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงอีกด้วย

พิจารณาตัวอย่างเบื้องต้นของ "การสาธิต"

เขียนสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดด้วย abscissa ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำเร็จรูปทันที (ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นในกรณีส่วนใหญ่):

ให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของแทนเจนต์โดย คำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันแต่สำหรับตอนนี้ เราจะเชี่ยวชาญส่วนทางเทคนิคของปัญหา แน่นอนว่าเกือบทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าแทนเจนต์คืออะไร หากคุณอธิบาย "บนนิ้ว" แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคือ ตรงซึ่งเกี่ยวข้องกับกราฟของฟังก์ชันใน เพียงจุด. ในกรณีนี้ จุดที่อยู่ใกล้เคียงทั้งหมดของเส้นตรงจะอยู่ใกล้กับกราฟของฟังก์ชันมากที่สุด

ตามที่ใช้กับกรณีของเรา: ใน แทนเจนต์ (สัญกรณ์มาตรฐาน) สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดเดียว

และงานของเราคือการหาสมการของเส้นตรง

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งได้อย่างไร สองจุดที่ชัดเจนของงานนี้ตามมาจากถ้อยคำ:

1) จำเป็นต้องหาอนุพันธ์

2) จำเป็นต้องคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ช่วย: วิธีต่อไปนี้ในการจดบันทึกฟังก์ชันเทียบเท่า:


ในบางงาน จะสะดวกที่จะกำหนดให้ฟังก์ชันนี้เป็น "ผู้เล่น" และในบางงานเป็น "ef from x"

อันดับแรกเราพบอนุพันธ์:

ฉันหวังว่าหลายคนได้ปรับตัวเพื่อค้นหาอนุพันธ์ดังกล่าวด้วยวาจา

ในขั้นตอนที่สอง เราคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด :

ตัวอย่างการวอร์มอัพเล็กน้อยสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 2

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ความจำเป็นในการหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเกิดขึ้นในงานต่อไปนี้: การสร้างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน (ย่อหน้าถัดไป) การศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดโต่ง , การศึกษาฟังก์ชันการโก่งตัวของกราฟ , ศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ และอื่น ๆ.

แต่งานที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นพบได้ในเอกสารควบคุมและด้วยตัวเอง และตามกฎแล้ว ในกรณีเช่นนี้ ฟังก์ชันจะค่อนข้างซับซ้อน ในเรื่องนี้ ขอพิจารณาอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุด.
หาอนุพันธ์ก่อน:

โดยหลักการแล้วพบอนุพันธ์และค่าที่ต้องการสามารถแทนที่ได้ แต่ฉันไม่อยากทำอะไรเลยจริงๆ นิพจน์ยาวมากและค่าของ "x" เป็นเศษส่วน ดังนั้นเราจึงพยายามลดความซับซ้อนของอนุพันธ์ให้มากที่สุด ในกรณีนี้ ให้ลองลดสามเทอมสุดท้ายให้เป็นตัวส่วนร่วม: ที่จุด.

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง

จะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F(x) ที่จุด Ho ได้อย่างไร วิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไป?

หากได้รับสูตร ให้หาอนุพันธ์และแทนที่ X-zero แทน X นับ
หากเรากำลังพูดถึง b-8 USE, กราฟ, คุณจำเป็นต้องค้นหาแทนเจนต์ของมุม (เฉียบพลันหรือป้าน) ซึ่งสร้างแทนเจนต์ของแกน X (โดยใช้การสร้างจิตของสามเหลี่ยมมุมฉากและกำหนดแทนเจนต์ของ มุม)

Timur adilkhodzhaev

ก่อนอื่นคุณต้องตัดสินใจเกี่ยวกับป้าย หากจุด x0 อยู่ในส่วนล่างของระนาบพิกัด เครื่องหมายในคำตอบจะเป็นลบ และหากจุดนั้นสูงกว่า +
ประการที่สอง คุณจำเป็นต้องรู้ว่าสิ่งที่เป็นสีส้มในสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมคืออะไร และนี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ขา) กับด้านที่อยู่ติดกัน (เช่น ขา) มักจะมีรอยดำเล็กน้อยบนภาพวาด จากเครื่องหมายเหล่านี้ คุณสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากและหาเส้นสี

จะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f x ที่จุด x0 ได้อย่างไร

ไม่มีคำถามเฉพาะ - 3 ปี ที่แล้ว

ในกรณีทั่วไป ในการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับตัวแปรบางตัว ณ จุดใด ๆ จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่กำหนดให้สัมพันธ์กับตัวแปรนี้ ในกรณีของคุณโดยตัวแปร X ในนิพจน์ผลลัพธ์ แทนที่จะเป็น X ให้ใส่ค่าของ x ที่จุดที่คุณต้องการหาค่าของอนุพันธ์ กล่าวคือ ในกรณีของคุณ ให้แทนที่ศูนย์ X แล้วคำนวณนิพจน์ผลลัพธ์

ความปรารถนาของคุณที่จะเข้าใจปัญหานี้ในความคิดของฉันสมควรได้รับ + ​​อย่างไม่ต้องสงสัยซึ่งฉันใส่ด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน

การกำหนดสูตรของปัญหาในการหาอนุพันธ์ดังกล่าวมักจะถูกกำหนดขึ้นเพื่อแก้ไขวัสดุตามความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ กราฟของฟังก์ชันบางอย่างถูกเสนอโดยพลการโดยสมบูรณ์และไม่ได้กำหนดโดยสมการ และจำเป็นต้องหาค่าของอนุพันธ์ (ไม่ใช่ตัวอนุพันธ์เอง!) ที่จุด X0 ที่ระบุ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แทนเจนต์ของฟังก์ชันที่กำหนดจะถูกสร้างขึ้น และพบจุดตัดกับแกนพิกัด จากนั้นสมการของแทนเจนต์นี้จะถูกวาดขึ้นในรูปแบบ y=kx+b

ในสมการนี้สัมประสิทธิ์ k และจะเป็นค่าของอนุพันธ์ เหลือเพียงการหาค่าสัมประสิทธิ์ข ในการทำเช่นนี้ เราพบค่าของ y ที่ x \u003d o ปล่อยให้มันเท่ากับ 3 - นี่คือค่าของสัมประสิทธิ์ b เราแทนที่ค่าของ X0 และ Y0 ลงในสมการดั้งเดิมแล้วหา k - ค่าอนุพันธ์ของเรา ณ จุดนี้

ในปัญหา B9 จะได้รับกราฟของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ซึ่งจำเป็นต้องกำหนดหนึ่งในปริมาณต่อไปนี้:

1. ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง x 0
2. จุดสูงหรือจุดต่ำ (จุดสุดขั้ว)
3. ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน (ช่วงของความซ้ำซากจำเจ)

ฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่นำเสนอในปัญหานี้มีความต่อเนื่องอยู่เสมอ ซึ่งช่วยลดความยุ่งยากในการแก้ปัญหาอย่างมาก แม้ว่างานจะเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่ก็อยู่ในอำนาจของแม้แต่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุด เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีความรู้เชิงลึกเชิงทฤษฎีในที่นี้

ในการค้นหาค่าของอนุพันธ์ จุดสุดขั้ว และช่วงความซ้ำซากจำเจ มีอัลกอริธึมที่เรียบง่ายและเป็นสากล - ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อ่านเงื่อนไขของปัญหา B9 อย่างระมัดระวังเพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดที่โง่เขลา: บางครั้งอาจมีข้อความที่ค่อนข้างใหญ่โต แต่มีเงื่อนไขสำคัญบางประการที่ส่งผลต่อแนวทางแก้ไข

การคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ วิธีสองจุด

หากปัญหาได้รับกราฟของฟังก์ชัน f(x) แทนเจนต์ของกราฟนี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0 และจำเป็นต้องหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ อัลกอริทึมต่อไปนี้จะถูกนำมาใช้:

1. ค้นหาจุดที่ "เพียงพอ" สองจุดบนกราฟแทนเจนต์: พิกัดของจุดเหล่านั้นต้องเป็นจำนวนเต็ม ลองแทนจุดเหล่านี้เป็น A (x 1 ; y 1) และ B (x 2 ; y 2) เขียนพิกัดให้ถูกต้อง - นี่คือประเด็นสำคัญของการแก้ปัญหา และความผิดพลาดใดๆ ก็ตามที่นำไปสู่คำตอบที่ผิด
2. เมื่อทราบพิกัดแล้ว จะคำนวณการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ได้ง่าย Δx = x 2 − x 1 และการเพิ่มฟังก์ชัน Δy = y 2 − y 1
3. สุดท้าย เราพบค่าของอนุพันธ์ D = Δy/Δx กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องแบ่งการเพิ่มฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ - และนี่จะเป็นคำตอบ

ขอย้ำอีกครั้งว่า: จุด A และ B จะต้องค้นหาอย่างแม่นยำบนแทนเจนต์ ไม่ใช่บนกราฟของฟังก์ชัน f(x) อย่างที่มักจะเป็น แทนเจนต์จำเป็นต้องมีจุดดังกล่าวอย่างน้อยสองจุด มิฉะนั้น ปัญหาจะถูกกำหนดอย่างไม่ถูกต้อง

พิจารณาจุด A (-3; 2) และ B (-1; 6) และหาการเพิ่มขึ้น:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4

มาหาค่าของอนุพันธ์กัน: D = Δy/Δx = 4/2 = 2

งาน. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) และแทนเจนต์ที่จุดที่มี abscissa x 0 หาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0

พิจารณาจุด A (0; 3) และ B (3; 0) ค้นหาการเพิ่มขึ้น:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3

ตอนนี้เราพบค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = −3/3 = -1

งาน. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) และแทนเจนต์ที่จุดที่มี abscissa x 0 หาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0

พิจารณาจุด A (0; 2) และ B (5; 2) และค้นหาการเพิ่มขึ้น:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0

ยังคงต้องหาค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = 0/5 = 0

จากตัวอย่างที่แล้ว เราสามารถกำหนดกฎได้: ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน OX อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดสัมผัสจะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณอะไรเลย แค่ดูที่กราฟ

การคำนวณคะแนนสูงและต่ำ

บางครั้งแทนที่จะใช้กราฟของฟังก์ชันในปัญหา B9 กราฟอนุพันธ์จะได้รับและจำเป็นต้องหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ในสถานการณ์สมมตินี้ วิธีแบบสองจุดไม่มีประโยชน์ แต่มีอัลกอริทึมอื่นที่ง่ายกว่า ขั้นแรก มากำหนดคำศัพท์กันก่อน:

1. จุด x 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หากอสมการต่อไปนี้อยู่ในละแวกใกล้เคียงของจุดนี้: f(x 0) ≥ f(x)
2. จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) หากอสมการต่อไปนี้อยู่ในละแวกใกล้เคียงของจุดนี้: f(x 0) ≤ f(x)

ในการหาจุดสูงสุดและต่ำสุดบนกราฟของอนุพันธ์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. วาดกราฟของอนุพันธ์ใหม่โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นทั้งหมด ตามแนวทางปฏิบัติ ข้อมูลพิเศษจะรบกวนโซลูชันเท่านั้น ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์บนแกนพิกัด - และนั่นก็คือ
2. หาสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ ถ้าสำหรับบางจุด x 0 เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า f'(x 0) ≠ 0 เป็นไปได้เพียงสองตัวเลือกเท่านั้น: f'(x 0) ≥ 0 หรือ f'(x 0) ≤ 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์คือ ง่ายต่อการตรวจสอบจากรูปวาดต้นฉบับ: ถ้ากราฟอนุพันธ์อยู่เหนือแกน OX แล้ว f'(x) ≥ 0 ในทางกลับกัน ถ้ากราฟอนุพันธ์อยู่ใต้แกน OX แล้ว f'(x) ≤ 0
3. เราตรวจสอบศูนย์และสัญญาณของอนุพันธ์อีกครั้ง ที่เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวกมีจุดต่ำสุด ในทางกลับกัน ถ้าเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด การนับจะทำจากซ้ายไปขวาเสมอ

แบบแผนนี้ใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันต่อเนื่อง - ไม่มีปัญหาอื่นใน B9

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในส่วนนี้ [-5; ห้า]. หาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) ในส่วนนี้

กำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกไป - เราจะปล่อยให้มีขอบเขตเท่านั้น [-5; 5] และเลขศูนย์ของอนุพันธ์ x = −3 และ x = 2.5 ยังสังเกตสัญญาณ:

เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = −3 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก นี่คือจุดต่ำสุด

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในส่วนนี้ [-3; 7]. หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ในส่วนนี้

ลองวาดกราฟใหม่โดยเหลือเพียงขอบเขต [−3; 7] และเลขศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.7 และ x = 5 สังเกตสัญญาณของอนุพันธ์บนกราฟผลลัพธ์ เรามี:

เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = 5 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ - นี่คือจุดสูงสุด

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในเซ็กเมนต์ [-6; 4]. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่เป็นของช่วง [-4; 3].

จากเงื่อนไขของปัญหาถือว่าเพียงพอแล้วที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนของกราฟที่ล้อมรอบด้วยส่วน [-4; 3]. ดังนั้นเราจึงสร้างกราฟใหม่ ซึ่งเราทำเครื่องหมายเฉพาะขอบเขต [-4; 3] และศูนย์ของอนุพันธ์ภายในนั้น กล่าวคือ คะแนน x = −3.5 และ x = 2 เราได้รับ:

บนกราฟนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว x = 2 โดยอยู่ที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ

หมายเหตุเล็กน้อยเกี่ยวกับจุดที่มีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในปัญหาที่แล้ว พิจารณาจุด x = −3.5 แต่ด้วยความสำเร็จเดียวกัน เราสามารถหา x = −3.4 ได้ หากมีการกำหนดปัญหาอย่างถูกต้อง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ควรส่งผลกระทบต่อคำตอบ เนื่องจากประเด็น "ไม่มีที่อยู่อาศัยถาวร" ไม่ได้เกี่ยวข้องโดยตรงในการแก้ปัญหา แน่นอน ด้วยจุดจำนวนเต็ม เคล็ดลับดังกล่าวจะไม่ทำงาน

การหาช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

ในปัญหาดังกล่าว เช่น จุดสูงสุดและต่ำสุด เสนอให้ค้นหาพื้นที่ที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงจากกราฟของอนุพันธ์ ขั้นแรก ให้กำหนดว่าการขึ้นและลงคืออะไร:

1. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ หากจุดสองจุด x 1 และ x 2 จากส่วนนี้ ข้อความนั้นเป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มาก ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้น
2. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าการลดลงบนเซ็กเมนต์ หากจุดสองจุด x 1 และ x 2 จากส่วนนี้ ข้อความนั้นเป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) เหล่านั้น. ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

เรากำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง:

1. สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ที่เพิ่มขึ้นบนเซกเมนต์ ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในเซกเมนต์เป็นค่าบวก กล่าวคือ f'(x) ≥ 0
2. สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) จะลดลงบนเซกเมนต์ ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในเซกเมนต์เป็นค่าลบ กล่าวคือ f'(x) ≤ 0

เรายอมรับคำยืนยันเหล่านี้โดยไม่มีการพิสูจน์ ดังนั้นเราจึงได้โครงร่างสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและการลดลง ซึ่งในหลาย ๆ ทางคล้ายกับอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณจุดสุดขั้ว:

1. ลบข้อมูลที่ซ้ำซ้อนทั้งหมด บนกราฟเดิมของอนุพันธ์ เราสนใจเลขศูนย์ของฟังก์ชันเป็นหลัก เราจึงปล่อยไว้เพียงค่าเหล่านี้
2. ทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ โดยที่ f'(x) ≥ 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ f'(x) ≤ 0 ฟังก์ชันจะลดลง หากปัญหามีข้อ จำกัด เกี่ยวกับตัวแปร x เราจะทำเครื่องหมายเพิ่มเติมในแผนภูมิใหม่
3. ตอนนี้เราทราบพฤติกรรมของฟังก์ชันและข้อจำกัดแล้ว ยังคงต้องคำนวณค่าที่ต้องการในปัญหา

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในส่วนนี้ [-3; 7.5]. ค้นหาช่วงเวลาของการลดฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้เขียนผลรวมของจำนวนเต็มในช่วงเวลาเหล่านี้

ตามปกติ เราจะวาดกราฟใหม่และทำเครื่องหมายขอบเขต [-3; 7.5] เช่นเดียวกับศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.5 และ x = 5.3 จากนั้นเราทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ เรามี:

เนื่องจากอนุพันธ์เป็นลบในช่วงเวลา (− 1.5) นี่คือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงรวมจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลานี้:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

งาน. รูปแสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้ในส่วนนี้ [-10; 4]. หาช่วงของการเพิ่มฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้เขียนความยาวของความยาวมากที่สุด

มากำจัดข้อมูลที่ซ้ำซ้อนกัน เราปล่อยให้ขอบเขตเท่านั้น [-10; 4] และศูนย์ของอนุพันธ์ซึ่งคราวนี้กลายเป็นสี่: x = −8, x = −6, x = −3 และ x = 2 สังเกตสัญญาณของอนุพันธ์และรับภาพต่อไปนี้:

เราสนใจช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น กล่าวคือ โดยที่ f'(x) ≥ 0 มีช่วงเวลาดังกล่าวสองช่วงบนกราฟ: (−8; −6) และ (−3; 2) มาคำนวณความยาวกัน:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
ล. 2 = 2 − (−3) = 5.

เนื่องจากจำเป็นต้องหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด เราจึงเขียนค่า l 2 = 5 ในการตอบกลับ