Shembulli 1

Referenca: Mënyrat e mëposhtme për të shënuar një funksion janë ekuivalente: Në disa detyra, është e përshtatshme të caktoni funksionin si "lojtar", dhe në disa si "ef nga x".

Së pari gjejmë derivatin:

Shembulli 2

Llogaritni derivatin e një funksioni në një pikë

, , studim i plotë i funksionit dhe etj.

Shembulli 3

Njehsoni derivatin e funksionit në pikën . Le të gjejmë së pari derivatin:

Epo, kjo është një çështje krejtësisht tjetër. Llogaritni vlerën e derivatit në pikën:

Në rast se nuk e kuptoni se si u gjet derivati, kthehuni në dy mësimet e para të temës. Nëse ka vështirësi (keqkuptim) me tangjentën e harkut dhe kuptimet e tij, detyrimisht materiali metodologjik i studimit Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare- paragrafi i fundit. Sepse ka ende mjaftueshëm arktangjentë për moshën studentore.

Shembulli 4

Njehsoni derivatin e funksionit në pikën .

Ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit

Për të konsoliduar paragrafin e mëparshëm, merrni parasysh problemin e gjetjes së tangjentes me grafika e funksionit në këtë pikë. Këtë detyrë e takuam në shkollë, e hasim edhe në lëndën e matematikës së lartë.

Konsideroni një shembull elementar "demonstrues".

Shkruani një ekuacion për tangjenten me grafikun e funksionit në pikën me abshisën. Unë do të jap menjëherë një zgjidhje grafike të gatshme për problemin (në praktikë, kjo nuk është e nevojshme në shumicën e rasteve):

Një përkufizim rigoroz i një tangjente jepet nga përkufizimet e derivatit të një funksioni, por tani për tani do të zotërojmë pjesën teknike të çështjes. Me siguri pothuajse të gjithë e kuptojnë intuitivisht se çfarë është një tangjente. Nëse shpjegoni "në gishta", atëherë tangjentja me grafikun e funksionit është drejt, që ka të bëjë me grafikun e funksionit në i vetmi pikë. Në këtë rast, të gjitha pikat e afërta të vijës së drejtë janë të vendosura sa më afër grafikut të funksionit.

Siç zbatohet në rastin tonë: në , tangjentja (shënimi standard) prek grafikun e funksionit në një pikë të vetme.

Dhe detyra jonë është të gjejmë ekuacionin e një vije të drejtë.

Derivat i një funksioni në një pikë

Si të gjejmë derivatin e një funksioni në një pikë? Dy pika të dukshme të kësaj detyre rrjedhin nga formulimi:

1) Është e nevojshme të gjendet derivati.

2) Është e nevojshme të llogaritet vlera e derivatit në një pikë të caktuar.

Shembulli 1

Llogaritni derivatin e një funksioni në një pikë

Ndihmë: Mënyrat e mëposhtme për të shënuar një funksion janë ekuivalente:


Në disa detyra, është e përshtatshme të caktoni funksionin si "lojtar", dhe në disa si "ef nga x".

Së pari gjejmë derivatin:

Shpresoj që shumë janë përshtatur tashmë për të gjetur derivate të tilla gojarisht.

Në hapin e dytë, ne llogarisim vlerën e derivatit në pikën:

Një shembull i vogël ngrohjeje për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 2

Llogaritni derivatin e një funksioni në një pikë

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Nevoja për të gjetur derivatin në një pikë lind në detyrat e mëposhtme: ndërtimi i një tangjente me grafikun e një funksioni (paragrafi tjetër), studimi i një funksioni për një ekstrem , studimi i funksionit për lakimin e grafikut , studim i plotë i funksionit dhe etj.

Por detyra në shqyrtim gjendet në letrat e kontrollit dhe në vetvete. Dhe, si rregull, në raste të tilla, funksioni jepet mjaft i ndërlikuar. Në këtë drejtim, merrni parasysh dy shembuj të tjerë.

Shembulli 3

Llogaritni derivatin e një funksioni në pikën.
Le të gjejmë së pari derivatin:

Derivati, në parim, gjendet dhe vlera e kërkuar mund të zëvendësohet. Por në të vërtetë nuk dua të bëj asgjë. Shprehja është shumë e gjatë, dhe vlera e "x" është e pjesshme. Prandaj, ne përpiqemi të thjeshtojmë derivatin tonë sa më shumë që të jetë e mundur. Në këtë rast, le të përpiqemi t'i reduktojmë tre termat e fundit në një emërues të përbashkët: në pikën.

Ky është një shembull bëjeni vetë.

Si të gjendet vlera e derivatit të funksionit F(x) në pikën Ho? Si ta zgjidhim atë në përgjithësi?

Nëse formula është dhënë, atëherë gjeni derivatin dhe zëvendësoni X-zero në vend të X. numëroj
Nëse po flasim për b-8 USE, grafik, atëherë duhet të gjeni tangjenten e këndit (akute ose të mpirë), e cila formon një tangjente me boshtin X (duke përdorur ndërtimin mendor të një trekëndëshi kënddrejtë dhe duke përcaktuar tangjenten e këndi)

Timur adilkhodzhaev

Së pari, ju duhet të vendosni për shenjën. Nëse pika x0 është në pjesën e poshtme të planit koordinativ, atëherë shenja në përgjigje do të jetë minus, dhe nëse është më e lartë, atëherë +.
Së dyti, duhet të dini se çfarë është tange në një drejtkëndësh drejtkëndor. Dhe ky është raporti i anës së kundërt (këmbës) me anën ngjitur (gjithashtu këmbën). Zakonisht ka disa shenja të zeza në pikturë. Nga këto shenja bëni një trekëndësh kënddrejtë dhe gjeni tange.

Si të gjejmë vlerën e derivatit të funksionit f x në pikën x0?

nuk ka pyetje specifike - 3 vjet më parë

Në rastin e përgjithshëm, për të gjetur vlerën e derivatit të një funksioni në lidhje me një ndryshore në çdo pikë, është e nevojshme të diferencohet funksioni i dhënë në lidhje me këtë ndryshore. Në rastin tuaj, nga ndryshorja X. Në shprehjen që rezulton, në vend të X, vendosni vlerën e x në pikën për të cilën duhet të gjeni vlerën e derivatit, d.m.th. në rastin tuaj, zëvendësoni zero X dhe llogaritni shprehjen që rezulton.

Epo, dëshira juaj për të kuptuar këtë çështje, për mendimin tim, padyshim e meriton +, të cilën e vendos me ndërgjegje të pastër.

Një formulim i tillë i problemit të gjetjes së derivatit shpesh shtrohet për të fiksuar materialin në kuptimin gjeometrik të derivatit. Propozohet një grafik i një funksioni të caktuar, krejtësisht arbitrar dhe jo i dhënë nga një ekuacion, dhe kërkohet të gjendet vlera e derivatit (jo vetë derivatit!) në pikën e specifikuar X0. Për ta bërë këtë, ndërtohet një tangjente ndaj funksionit të dhënë dhe gjenden pikat e kryqëzimit të tij me boshtet koordinative. Atëherë ekuacioni i kësaj tangjente hartohet në trajtën y=kx+b.

Në këtë ekuacion, koeficienti k dhe do të jetë vlera e derivatit. Mbetet vetëm për të gjetur vlerën e koeficientit b. Për ta bërë këtë, gjejmë vlerën e y në x \u003d o, le të jetë e barabartë me 3 - kjo është vlera e koeficientit b. Ne zëvendësojmë vlerat e X0 dhe Y0 në ekuacionin origjinal dhe gjejmë k - vlerën tonë të derivatit në këtë pikë.

Në problemin B9, jepet një grafik i një funksioni ose derivati, nga i cili kërkohet të përcaktohet një nga madhësitë e mëposhtme:

1. Vlera e derivatit në një pikë x 0,
2. Pikat e larta ose të ulëta (pikat ekstreme),
3. Intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese (intervalet e monotonitetit).

Funksionet dhe derivatet e paraqitura në këtë problem janë gjithmonë të vazhdueshme, gjë që e thjeshton shumë zgjidhjen. Përkundër faktit se detyra i përket seksionit të analizës matematikore, ajo është mjaft në fuqinë edhe të studentëve më të dobët, pasi këtu nuk kërkohet njohuri e thellë teorike.

Për të gjetur vlerën e derivatit, pikave ekstreme dhe intervaleve të monotonitetit, ekzistojnë algoritme të thjeshta dhe universale - të gjitha do të diskutohen më poshtë.

Lexoni me kujdes gjendjen e problemit B9 në mënyrë që të mos bëni gabime të trashë: ndonjëherë hasen tekste mjaft voluminoze, por ka pak kushte të rëndësishme që ndikojnë në rrjedhën e zgjidhjes.

Llogaritja e vlerës së derivatit. Metoda me dy pika

Nëse problemit i jepet një grafik i funksionit f(x), tangjent me këtë grafik në një pikë x 0, dhe kërkohet të gjendet vlera e derivatit në këtë pikë, zbatohet algoritmi i mëposhtëm:

1. Gjeni dy pika "adekuate" në grafikun tangjentë: koordinatat e tyre duhet të jenë numër i plotë. Le t'i shënojmë këto pika si A (x 1 ; y 1) dhe B (x 2 ; y 2). Shkruani saktë koordinatat - kjo është pika kryesore e zgjidhjes dhe çdo gabim këtu çon në përgjigjen e gabuar.
2. Duke ditur koordinatat, është e lehtë të llogaritet rritja e argumentit Δx = x 2 − x 1 dhe rritja e funksionit Δy = y 2 − y 1 .
3. Së fundi, gjejmë vlerën e derivatit D = Δy/Δx. Me fjalë të tjera, ju duhet të ndani rritjen e funksionit me rritjen e argumentit - dhe kjo do të jetë përgjigja.

Edhe një herë, vërejmë: pikat A dhe B duhet të kërkohen saktësisht në tangjenten, dhe jo në grafikun e funksionit f(x), siç ndodh shpesh. Tangjentja do të përmbajë domosdoshmërisht të paktën dy pika të tilla, përndryshe problemi është formuluar gabimisht.

Merrni parasysh pikat A (−3; 2) dhe B (−1; 6) dhe gjeni rritjet:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Le të gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Një detyrë. Figura tregon grafikun e funksionit y \u003d f (x) dhe tangjenten me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .

Merrni parasysh pikat A (0; 3) dhe B (3; 0), gjeni rritjet:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Tani gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Një detyrë. Figura tregon grafikun e funksionit y \u003d f (x) dhe tangjenten me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .

Merrni parasysh pikat A (0; 2) dhe B (5; 2) dhe gjeni rritjet:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Mbetet për të gjetur vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Nga shembulli i fundit, mund të formulojmë rregullin: nëse tangjentja është paralele me boshtin OX, derivati ​​i funksionit në pikën e tangjences është i barabartë me zero. Në këtë rast, as nuk keni nevojë të llogaritni asgjë - thjesht shikoni grafikun.

Llogaritja e pikave të larta dhe të ulëta

Ndonjëherë në vend të një grafiku të një funksioni në problemin B9, jepet një grafik derivat dhe kërkohet të gjendet pika maksimale ose minimale e funksionit. Në këtë skenar, metoda me dy pika është e padobishme, por ekziston një algoritëm tjetër, edhe më i thjeshtë. Së pari, le të përcaktojmë terminologjinë:

1. Pika x 0 quhet pika maksimale e funksionit f(x) nëse në një afërsi të kësaj pike qëndron pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≥ f(x).
2. Pika x 0 quhet pika minimale e funksionit f(x) nëse në një fqinjësi të kësaj pike qëndron pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≤ f(x).

Për të gjetur pikët maksimale dhe minimale në grafikun e derivatit, mjafton të kryhen hapat e mëposhtëm:

1. Rivizatoni grafikun e derivatit, duke hequr të gjitha informacionet e panevojshme. Siç tregon praktika, të dhënat shtesë ndërhyjnë vetëm në zgjidhje. Prandaj, ne shënojmë zerot e derivatit në boshtin koordinativ - dhe kaq.
2. Gjeni shenjat e derivatit në intervalet midis zerove. Nëse për një pikë x 0 dihet se f'(x 0) ≠ 0, atëherë janë të mundshme vetëm dy opsione: f'(x 0) ≥ 0 ose f'(x 0) ≤ 0. Shenja e derivatit është lehtë për t'u përcaktuar nga vizatimi origjinal: nëse grafiku i derivatit shtrihet mbi boshtin OX, atëherë f'(x) ≥ 0. Në të kundërt, nëse grafiku i derivatit shtrihet nën boshtin OX, atëherë f'(x) ≤ 0.
3. Ne përsëri kontrollojmë zerot dhe shenjat e derivatit. Kur shenja ndryshon nga minus në plus, ka një pikë minimale. Në të kundërt, nëse shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus, kjo është pika maksimale. Numërimi bëhet gjithmonë nga e majta në të djathtë.

Kjo skemë funksionon vetëm për funksione të vazhdueshme - nuk ka të tjerë në problemin B9.

Një detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në segmentin [−5; pesë]. Gjeni pikën minimale të funksionit f(x) në këtë segment.

Le të heqim qafe informacionin e panevojshëm - do të lëmë vetëm kufijtë [−5; 5] dhe zerot e derivatit x = −3 dhe x = 2,5. Gjithashtu vini re shenjat:

Natyrisht, në pikën x = -3, shenja e derivatit ndryshon nga minus në plus. Kjo është pika minimale.

Një detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në segmentin [−3; 7]. Gjeni pikën maksimale të funksionit f(x) në këtë segment.

Le të rivizatojmë grafikun, duke lënë vetëm kufijtë [−3; 7] dhe zerot e derivatit x = −1,7 dhe x = 5. Vini re shenjat e derivatit në grafikun që rezulton. Ne kemi:

Natyrisht, në pikën x = 5, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus - kjo është pika maksimale.

Një detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në segmentin [−6; 4]. Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f(x) që i përkasin intervalit [−4; 3].

Nga kushtet e problemit rezulton se mjafton të merret parasysh vetëm pjesa e grafikut e kufizuar nga segmenti [−4; 3]. Prandaj, ndërtojmë një grafik të ri, në të cilin shënojmë vetëm kufijtë [−4; 3] dhe zerot e derivatit brenda tij. Domethënë, pikat x = −3,5 dhe x = 2. Marrim:

Në këtë grafik ka vetëm një pikë maksimale x = 2. Është në të që shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus.

Një shënim i vogël për pikat me koordinata jo të plota. Për shembull, në problemin e fundit është marrë parasysh pika x = -3.5, por me të njëjtin sukses mund të marrim x = -3.4. Nëse problemi është formuluar saktë, ndryshime të tilla nuk duhet të ndikojnë në përgjigjen, pasi pikat "pa vendbanim fiks" nuk përfshihen drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemit. Sigurisht, me pika të plota, një mashtrim i tillë nuk do të funksionojë.

Gjetja e intervaleve të rritjes dhe uljes së një funksioni

Në një problem të tillë, si pikat maksimale dhe minimale, propozohet të gjenden zona në të cilat funksioni vetë rritet ose zvogëlohet nga grafiku i derivatit. Së pari, le të përcaktojmë se çfarë janë ngjitëse dhe zbritëse:

1. Një funksion f(x) quhet në rritje në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment pohimi është i vërtetë: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Me fjalë të tjera, sa më e madhe të jetë vlera e argumentit, aq më e madhe është vlera e funksionit.
2. Një funksion f(x) quhet zvogëlues në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment pohimi është i vërtetë: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). ato. një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

Ne formulojmë kushte të mjaftueshme për rritje dhe ulje:

1. Që një funksion i vazhdueshëm f(x) të rritet në segmentin , mjafton që derivati ​​i tij brenda segmentit të jetë pozitiv, d.m.th. f'(x) ≥ 0.
2. Që një funksion i vazhdueshëm f(x) të zvogëlohet në segmentin , mjafton që derivati ​​i tij brenda segmentit të jetë negativ, d.m.th. f'(x) ≤ 0.

Ne i pranojmë këto pohime pa prova. Kështu, marrim një skemë për gjetjen e intervaleve të rritjes dhe uljes, e cila në shumë mënyra është e ngjashme me algoritmin për llogaritjen e pikave ekstreme:

1. Hiq të gjitha informacionet e tepërta. Në grafikun origjinal të derivatit, ne jemi të interesuar kryesisht për zerot e funksionit, kështu që i lëmë vetëm ato.
2. Shënoni shenjat e derivatit në intervalet ndërmjet zerove. Ku f'(x) ≥ 0, funksioni rritet, dhe ku f'(x) ≤ 0, zvogëlohet. Nëse problemi ka kufizime në variablin x, ne i shënojmë ato në grafikun e ri.
3. Tani që e dimë sjelljen e funksionit dhe kufizimin, mbetet të llogarisim vlerën e kërkuar në problem.

Një detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në segmentin [−3; 7.5]. Gjeni intervalet e funksionit zvogëlues f(x). Në përgjigjen tuaj, shkruani shumën e numrave të plotë të përfshirë në këto intervale.

Si zakonisht, ne rivizatojmë grafikun dhe shënojmë kufijtë [−3; 7.5], si dhe zerot e derivatit x = −1.5 dhe x = 5.3. Pastaj shënojmë shenjat e derivatit. Ne kemi:

Meqenëse derivati ​​është negativ në intervalin (− 1.5), ky është intervali i funksionit në rënie. Mbetet për të mbledhur të gjithë numrat e plotë që janë brenda këtij intervali:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Një detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në segmentin [−10; 4]. Gjeni intervalet e funksionit rritës f(x). Në përgjigjen tuaj, shkruani gjatësinë e më të madhit prej tyre.

Le të heqim qafe informacionin e tepërt. Ne lëmë vetëm kufijtë [−10; 4] dhe zero të derivatit, të cilat kësaj radhe rezultuan të jenë katër: x = −8, x = −6, x = −3 dhe x = 2. Vini re shenjat e derivatit dhe merrni figurën e mëposhtme:

Ne jemi të interesuar për intervalet e rritjes së funksionit, d.m.th. ku f'(x) ≥ 0. Ekzistojnë dy intervale të tilla në grafik: (−8; −6) dhe (−3; 2). Le të llogarisim gjatësinë e tyre:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Meqenëse kërkohet gjetja e gjatësisë së intervalit më të madh, si përgjigje shkruajmë vlerën l 2 = 5.